4.設(shè)函數(shù)f(x)=xex.     
(1)求曲線f(x)在x=1處的切線方程;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.
(3)若方程ex=$\frac{a}{x}$有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

分析 (1)先求出切點(diǎn)的坐標(biāo),然后求出x=1處的導(dǎo)數(shù),從而求出切線的斜率,利用點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程.
(2)利用導(dǎo)數(shù)先判斷函數(shù)的單調(diào)性,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1),單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,+∞).可得f(x)極小值=f(-1)=-$\frac{1}{e}$,無極大值;
(3)方程ex=$\frac{a}{x}$有實(shí)數(shù)解,等價(jià)于xex=a有實(shí)數(shù)解,即可求實(shí)數(shù)a的范圍.

解答 解:(1)∵f(x)=xex
∴f′(x)=ex+xex,∴f′(1)=2e,又f(1)=e,
∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-e=2e(x-1),
即2ex-y-e=0;
(2)令f′(x)=ex+xex=0,得x=-1;
列表如下

x(-∞,-1)-1(-1,+∞)
f′(x)-0+
f(x)極小值
∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1),單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,+∞).
∴f(x)極小值=f(-1)=-$\frac{1}{e}$,無極大值;
(3)方程ex=$\frac{a}{x}$有實(shí)數(shù)解,等價(jià)于xex=a有實(shí)數(shù)解,
∵f(x)極小值=f(-1)=-$\frac{1}{e}$,∴$a≥-\frac{1}{e}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí),考查恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力,屬于中檔題.

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●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○
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