【題目】《九章算術》中,將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,在陽馬P﹣ABCD中,側棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點E,作EF⊥PB交PB于點F,連接DE,DF,BD,BE.
(1)證明:PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結論);若不是,說明理由;
(2)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 ,求 的值.
【答案】
(1)證明:解法1:因為PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,
由底面ABCD為長方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,
所以BC⊥平面PCD.而DE平面PDC,所以BC⊥DE.
又因為PD=CD,點E是PC的中點,所以DE⊥PC.
而PC∩CB=C,所以DE⊥平面PBC.而PB平面PBC,所以PB⊥DE.
又PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF.
由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形,
即四面體BDEF是一個鱉臑,其四個面的直角分別為∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB
解法2:
以D為原點,射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系.設PD=DC=1,BC=λ,
則D(0,0,0),P(0,0,1),B(λ,1,0),C(0,1,0), =(λ1,﹣1),點E是PC的中點,所以E(0, , ), =(0, , ),
于是 =0,即PB⊥DE.
又已知EF⊥PB,而ED∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.
因 =(0,1,﹣1), =0,則DE⊥PC,所以DE⊥平面PBC.
由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形,
即四面體BDEF是一個鱉臑,其四個面的直角分別為∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB
(2)解法1:如圖1,
在面BPC內(nèi),延長BC與FE交于點G,則DG是平面DEF與平面ACBD的交線.
由(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.
又因為PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.
所以DG⊥DF,DG⊥DB
故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角,
設PD=DC=1,BC=λ,有BD= ,
在Rt△PDB中,由DF⊥PB,得∠DPB=∠FDB= ,
則 tan =tan∠DPF= = = ,解得 .
所以 = =
故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 時, =
解法2:
由PD⊥底面ABCD,所以 =(0,0,1)是平面ACDB的一個法向量;
由(1)知,PB⊥平面DEF,所以 =(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一個法向量.
若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 ,
則運用向量的數(shù)量積求解得出cos = = ,
解得 .所以所以 = =
故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 時, =
【解析】(1)解法1:直線與直線,直線與平面的垂直的轉化證明得出PB⊥EF,DE∩FE=E,所以PB⊥平面DEF,即可判斷DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形,確定直角. 解法2:以D為原點,射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系,運用向量的數(shù)量積判斷即可.
(2.)根據(jù)公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線.利用直線平面的垂直判斷出DG⊥DF,DG⊥DB,根據(jù)平面角的定義得出∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角,轉化到直角三角形求解即可.解法2:由PD⊥底面ABCD,所以 =(0,0,1)是平面ACDB的一個法向量;由(1)知,PB⊥平面DEF,所以 =(﹣λ,﹣1,1)是平面DEF的一個法向量.根據(jù)數(shù)量積得出夾角的余弦即可得出所求解的答案.
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【題目】定義在R上的奇函數(shù)f(x),當x≥0時,f(x)= ,則關于x的函數(shù)F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零點之和為( )
A.3a﹣1
B.1﹣3a
C.3﹣a﹣1
D.1﹣3﹣a
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【題目】已知函數(shù)上的一個最高點的坐標為,由此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點,若.
(1)求的解析式.
(2)求在上的值域.
(3)若對任意實數(shù),不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】若a和b是計算機在區(qū)間(0,3)上產(chǎn)生的隨機數(shù),那么函數(shù)f(x)=lg(ax2+4x+4b) 的值域為R的概率為 .
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【題目】已知常數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=ln(1+ax)﹣ .
(Ⅰ)討論f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若f(x)存在兩個極值點x1 , x2 , 且f(x1)+f(x2)>0,求a的取值范圍.
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【題目】設a,b∈R,函數(shù) ,g(x)=ex(e為自然對數(shù)的底數(shù)),且函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象在x=0處有公共的切線.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若g(x)>f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)內(nèi)恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2+1,若至少存在兩個實數(shù)m,使得f(﹣m),f(1)、f(m+2)成等差數(shù)列,則過坐標原點作曲線y=f(x)的切線可以作( )
A.3條
B.2條
C.1條
D.0條
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