Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）若 ，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x=﹣1是函數(shù)y=f（x）的一個極值點，試判斷此時函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=x2﹣2bx+2．

時，f'（x）=x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2），

令f'（x）＞0解得x＜1或x＞2．

所以， 時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，1），（2，+∞）．

令f'（x）＜0解得1＜x＜2．

所以， 時函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）

（2）解：因為x=﹣1是函數(shù)y=f（x）的一個極值點，

則f'（﹣1）=0，故：1+2b+2=0解得： ，

此時f'（x）=x2﹣2bx+2=x2+3x+2，

令f'（x）=0解得：x=﹣2或x=﹣1．

則x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下．

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，﹣1）	﹣1	（﹣1，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

故此時x=﹣1時，f（x）有極小值 ；

x=﹣2時，f（x）有極大值 ；

則當x＞﹣2時，f（x）≥f（﹣1）＞0，顯然函數(shù)在（﹣2，+∞）上無零點．

又 ，（也可取x=﹣4等），則f（﹣3）f（﹣2）＜0，

結(jié)合函數(shù)在（﹣∞，﹣2）上單調(diào)遞增，故由零點存在定理知，函數(shù)在（﹣∞，﹣2）上必有唯一零點．

綜上：若x=﹣1是函數(shù)y=f（x）的一個極值點，則此時函數(shù)y=f（x）在R上有唯一零點

【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)x=﹣1是函數(shù)y=f（x）的一個極值點，求出b的值，求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷函數(shù)的零點個數(shù)即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．