Question

在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為的中點(diǎn)．

（1）求直線與平面所 成 角的大��；
（2）求二面角的大�。�

Answer 1

(1)  (2)

試題分析：（1）解法一：建立坐標(biāo)系
平面的一個(gè)法向量為  
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011444846581.png" style="vertical-align:middle;" />，，
可知直線的一個(gè)方向向量為．
設(shè)直線與平面成角為，與所成角為，則
   
解法二：平面，即為 在平面內(nèi)的射影，
故為直線與平面所成角，
在中， ,        
（2）解法一：建立坐標(biāo)系如圖．平面的一個(gè)法向量為
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011445611719.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，令，則
 
由圖知二面角為銳二面角，故其大小為．
解法二：過(guò)作平面的垂線，垂足為，即為所求
，過(guò)作的垂線設(shè)垂足為，∽
即   在中
所以 二面角的大小為． 
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用角的定義作圖來(lái)結(jié)合幾何中的性質(zhì)定理和判定定理來(lái)得到，解三角形得到，或者建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量法來(lái)求解。屬于中檔題。