Question

【題目】某地區(qū)進行疾病普查，為此要檢驗每一人的血液，如果當?shù)赜?/span>人，若逐個檢驗就需要檢驗次，為了減少檢驗的工作量，我們把受檢驗者分組，假設(shè)每組有個人，把這個個人的血液混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，這個人的血液全為陰性，因而這個人只要檢驗一次就夠了，如果為陽性，為了明確這個個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這個人再逐個進行檢驗，這時個人的檢驗次數(shù)為次.假設(shè)在接受檢驗的人群中，每個人的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性是獨立的，且每個人是陽性結(jié)果的概率為.

（Ⅰ）為熟悉檢驗流程，先對3個人進行逐個檢驗，若，求3人中恰好有1人檢測結(jié)果為陽性的概率；

（Ⅱ）設(shè)為個人一組混合檢驗時每個人的血需要檢驗的次數(shù).

①當，時，求的分布列；

②是運用統(tǒng)計概率的相關(guān)知識，求當和滿足什么關(guān)系時，用分組的辦法能減少檢驗次數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）①見解析，②當時，用分組的辦法能減少檢驗次數(shù).

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)獨立重復試驗概率公式得結(jié)果;（Ⅱ）①先確定隨機變量，再分別計算對應(yīng)概率，列表可得分布列，②先求數(shù)學期望，再根據(jù)條件列不等式，解得結(jié)果.

（Ⅰ）對3人進行檢驗，且檢驗結(jié)果是獨立的，

設(shè)事件：3人中恰有1人檢測結(jié)果為陽性，則其概率

（Ⅱ）①當，時，則5人一組混合檢驗結(jié)果為陰性的概率為，每人所檢驗的次數(shù)為次，若混合檢驗結(jié)果為陽性，則其概率為，則每人所檢驗的次數(shù)為次，故的分布列為

②分組時，每人檢驗次數(shù)的期望如下

∴

不分組時，每人檢驗次數(shù)為1次，要使分組辦法能減少檢驗次數(shù)，需 即

所以當時，用分組的辦法能減少檢驗次數(shù).