Question

已知橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，且短軸長為4，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓長、短半軸長，根據(jù)已知條件列方程組，解出即可，注意焦點(diǎn)位置不確定；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消y得關(guān)于x的一元二次方程，用韋達(dá)定理及弦長公式可得關(guān)于m的方程，解出即可；
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的長半軸長為a（a＞0），短半軸長為b（b＞0），
則2b=4①，②．                                              
聯(lián)立①②，解得a=4，b=2．                                                      
因?yàn)闄E圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，
所以橢圓C的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為．        
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程組，消去y，
得5x²+2mx+m²-16=0，
由題意，得△=（2m）²-20（m²-16）＞0，
且，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172438937157934/SYS201311031724389371579019_DA/4.png">=，
所以，解得m=±2，
驗(yàn)證知△＞0成立，
所以直線l的方程為x-y+2=0或x-y-2=0．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查解析幾何中常見公式如：弦長公式、韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力．