【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形,PB⊥面ABCD,BA=BD= ,AD=2,E,F(xiàn)分別是棱AD,PC的中點(diǎn).

(1)證明:EF∥平面PAB;
(2)若二面角P﹣AD﹣B為60°,求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】
(1)證明:取PB的中點(diǎn)M,連接MF,AM.

又∵F為PC的中點(diǎn),∴FM∥BC,F(xiàn)M= BC,(中位線定理),

∵E為AD的中點(diǎn),ABCD是平行四邊形,

∴AE∥BC,AE= BC,

∴FM∥AE,F(xiàn)M=AE,

∴四邊形AEFM為平行四邊形

∴EF∥AM,

∵M(jìn)A平面PAB,EF平面PAB,

∴EF∥平面PAB.


(2)解:∵BA=BD,PA=PD 且 E為AD的中點(diǎn),

∴BE⊥AD,PE⊥AD,

∴∠PEB為二面角P﹣AD﹣B的平面角,∴∠PEB=60°,

∵在Rt△ABD,BA=BD= ,AD=2,

∴BE=1,

∵∠PEB=60°,∴Rt△PBE中,PB=

∵BE⊥AD,AD∥BC,∴BE⊥BC,

∵PB⊥面ABCD,∴PB⊥BE,

由BC∩PB=B,∴BE⊥平面PBC,

∴∠EFB為直線EF與平面PBC所成角,

∵在Rt△ABM中,AM= ,

∴在Rt△EBF中,sin∠EFB= = = ,

∴直線EF與平面PBC所成角的正弦值為


【解析】(1)利用線面平行的判定定理或面面平行的性質(zhì)定理證明.(2)根據(jù)二面角平面角的定義先找出平面角,結(jié)合直線和平面所成角的定義作出線面角,根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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附:

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