Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且BC邊上的高為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$，則$\frac{c}$+$\frac{c}$取得最大值時(shí)，角A的值為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 利用三角形的面積計(jì)算公式可得$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a²=$\frac{1}{2}$bcsinA即a²=2$\sqrt{3}$bcsinA，利用余弦定理及已知可得$\frac{c}$+$\frac{c}$=4sin（A+$\frac{π}{6}$）≤4，從而可解得A的值．

解答 解：∵$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a²=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴a²=2$\sqrt{3}$bcsinA．
∵cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴b²+c²=a²+2bccosA=2$\sqrt{3}$bcsinA+2bccosA
∴$\frac{c}$+$\frac{c}$=2$\sqrt{3}$sinA+2cosA=4sin（A+$\frac{π}{6}$）≤4，
∴$\frac{c}$+$\frac{c}$的最大值是4時(shí)有A+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z
∴可解得：A=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的面積計(jì)算公式、余弦定理、兩角和差的正弦計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．