【題目】已知拋物線Cx22pyp0),直線lCA,B兩點,且A,B兩點與原點不重合,點M12)為線段AB的中點.

1)若直線l的斜率為1,求拋物線C的方程;

2)分別過A,B兩點作拋物線C的切線,若兩條切線交于點S,證明點S在一條定直線上.

【答案】(1)x22y(2)證明見解析

【解析】

1)設直線的方程為,代入拋物線方程,消去,設,,,運用韋達定理,以及中點坐標公式,可得,即可得到所求拋物線方程;

2)求得的導數(shù),可得拋物線在,處的切線的斜率,由點斜式方程和點,滿足拋物線方程,可得在,處的切線方程,聯(lián)立兩切線方程,相加,結合中點坐標公式,即可得到所求點所在的定直線方程.

解:(1)設直線的方程為,代入拋物線

可得,

,,則

為線段的中點,可得,即

則拋物線的方程為;

2)證明:設,,點為線段的中點,

可得,,

的導數(shù)為,可得拋物線在處的切線斜率為,切線方程為,

,可得,①

同理可得,②

②可得,

即為,即

可得交點在一條定直線上.

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成績/

班內排名

95

9

94

11

93

14

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