【題目】過拋物線的焦點且斜率為1的直線交拋物線于,兩點,且.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)拋物線上一點,直線(其中)與拋物線交于,兩個不同的點(,均不與點重合).設(shè)直線,的斜率分別為,,.直線是否過定點?如果是,請求出所有定點;如果不是,請說明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)直線恒過定點,定點為.
【解析】
(Ⅰ)假設(shè)直線方程,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,根據(jù)韋達定理以及拋物線的焦點弦性質(zhì),可得結(jié)果.
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的結(jié)論可得,然后聯(lián)立直線與拋物線的方程,結(jié)合韋達定理,利用,可得之間的關(guān)系,最后根據(jù)直線方程特點,可得結(jié)果.
(Ⅰ)由題意得:
設(shè)直線方程為:
代入拋物線方程得:
設(shè),
∴
∴,
解得:
∴拋物線方程為:
(Ⅱ)由(1)知:拋物線
∴,設(shè),
由得:,
則
∵ ∴,
∴
即:
∴,解得
當(dāng)時,
∴,
恒過定點
∴直線恒過定點
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,且曲線與恰有一個公共點.
(Ⅰ)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知曲線上兩點,滿足,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,焦距為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若一直線與橢圓相交于、兩點(、不是橢圓的頂點),以為直徑的圓過橢圓的上頂點,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解小學(xué)生的體能情況,現(xiàn)抽取某小學(xué)六年級100名學(xué)生進行跳繩測試,觀察記錄孩子們?nèi)昼妰?nèi)的跳繩個數(shù),將所得的數(shù)據(jù)整理后畫出頻率分布直方圖,跳繩個數(shù)的數(shù)值落在區(qū)間,,內(nèi)的頻率之比為.(計算結(jié)果保留小數(shù)點后面3位)
(Ⅰ)求這些學(xué)生跳繩個數(shù)的數(shù)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率;
(Ⅱ)用分層抽樣的方法在區(qū)間內(nèi)抽取一個容量為6的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任意選取2個學(xué)生,求這2個學(xué)生跳繩個數(shù)的數(shù)值都在區(qū)間內(nèi)的概率.
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【題目】全世界越來越關(guān)注環(huán)境保護問題,某監(jiān)測站點于2016年8月某日起連續(xù)天監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)(),數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:
空氣質(zhì)量指數(shù)() | 0-50 | 51-100 | 101-150 | 151-200 | 201-250 |
空氣質(zhì)量等級 | 空氣優(yōu) | 空氣良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 |
天數(shù) | 20 | 40 | 10 | 5 |
(1)根據(jù)所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出的值,并完成頻率分布直方圖;
(2)在空氣質(zhì)量指數(shù)分別為51-100和151-200的監(jiān)測數(shù)據(jù)中,用分層抽樣的方法抽取5天,從中任意選取2天,求事件“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知各項均為正整數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足:Sn﹣1+kan=tan2﹣1,n≥2,n∈N*(其中k,t為常數(shù)).
(1)若k=,t=,數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求a1的值;
(2)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,求證:k<t.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的直角坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線分別相交于異于原點的點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若在上恒成立,求正數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)證明:.
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