Question

已知函數f（x）=cos²ωx-

3

sinωx•cosωx（ω＞0）的最小正周期是π，
（1）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的 對 邊 分 別 是a，b，c，若（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得f（x）=cos(2ωx+

π

3

)+

1

2

，由周期公式可得ω，可得解析式，由三角函數的性質可得單調遞增區(qū)間；
（2）由題意和正弦定理可得B=

π

3

，進而可得f(A)=cos(2A+

π

3

)+

1

2

，由A的范圍可得．

解答： 解：（1）化簡可得f(x)=

1+cos2ωx

2

-

3

2

sin2ωx
=cos(2ωx+

π

3

)+

1

2

，由T=

2π

2ω

=π可得ω=1，
∴f(x)=cos(2x+

π

3

)+

1

2

，
由-π+2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ，k∈Z，
可解得-

2π

3

+kπ≤x≤-

π

6

+kπ，k∈Z，
∴函數f（x）的單調增區(qū)間為：[-

2π

3

+kπ，-

π

6

+kπ]，k∈Z
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

，∴f(A)=cos(2A+

π

3

)+

1

2

，
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
∴-1≤cos(2A+

π

3

)＜

1

2

，
∴f（A）的 取 值 范 圍為：[-

1

2

，1)

點評：本題考查三角函數的化簡，涉及三角函數的單調性和解三角形，屬中檔題．