已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(0,2)和B(-3,3),且圓心C在直線l:x+y+5=0上.
(1)求線段AB的垂直平分線方程;
(2)求圓C的標準方程.
分析:(1)要求線段的中垂線的方程,需要先寫出兩個端點的中點坐標,再根據(jù)垂直的兩條直線斜率之積等于-1,求出斜率,利用點斜式求出結果.
(2)法一:根據(jù)圓心的特點,求兩條直線的交點的坐標,得到要求的圓的圓心圓心,根據(jù)兩點之間的距離再做出半徑,寫出圓的標準方程;
法二:設出圓的標準式方程,利用待定系數(shù)法來得到結果.
解答:解:(1)因為A(0,2),B(-3,3),
∴線段AB的中點坐標為(-
3
2
,
5
2
)

直線AB的斜率kAB=
3-2
-3-0
=-
1
3
,
故線段AB的垂直平分線方程是y-
5
2
=3(x+
3
2
)
,即3x-y+7=0.
(2)法一由
3x-y+7=0
x+y+5=0
,得
x=-3
y=-2

∴圓心C的坐標是(-3,-2).
圓的半徑長r=|AC|=
(0+3)2+(2+2)2
=5

∴圓C的標準方程是(x+3)2+(y+2)2=25.
法二,設圓C的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
依題意,得
(0-a)2+(2-b)2=r2
(-3-a)2+(3-b)2=r2
a+b+5=0
,
解得a=-3,b=-2,r2=25
∴圓C的標準方程是(x+3)2+(y+2)2=25
點評:本題考查直線的方程和圓的方程的求法,是一個基礎題,解題時注意利用待定系數(shù)法求圓的方程時,注意應用方程思想,注意數(shù)字的運算.
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14
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