Question

設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，且，求證：.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

試題分析：（1）先求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，并對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行因式分解，然后對(duì)導(dǎo)數(shù)方程的根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類討論，從而確定函數(shù)相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（2）先利用函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、將利用和進(jìn)行表示，于此同時(shí)，利用分析法將所要證明的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為，并結(jié)合前面的結(jié)果，令，構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行證明.
試題解析：（1），定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023450170566.png" style="vertical-align:middle;" />，
，由于，，
①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023449905300.png" style="vertical-align:middle;" />、是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，有，
則，，
兩式相減得，
即
所以                         
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023450887832.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
故只要證即可，即證明，
即證明，
即證明，
設(shè).令，
則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023451090391.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，
所以在是增函數(shù)；又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023451168541.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，總成立.
所以原題得證.