Question

已知直線x-2y+4=0經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP與直線l：x=5分別交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；
（3）當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，Q點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，記△BPQ的面積為S，當(dāng)S在（0，+∞）上變化時(shí)，討論S的大小與Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得，橢圓C的左頂點(diǎn)為A（-4，0），上頂點(diǎn)為D（0，2），由此能求出橢圓C的方程．
（2）線AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設(shè)直線AP的方程為y=k（x+4），從而M（5，9k）．由題設(shè)條件可以求出 ，求得|MN|，再由均值不等式進(jìn)行求解．
（3）由（2）知，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，，設(shè)與BP平行的直線l'：3x+2y+t=0
聯(lián)立得10x²+6tx+t²-16=0，利用△=36t²-40（t²-16）=0得最后即可解決問(wèn)題．
解答：解：（1）由已知得橢圓C的左頂點(diǎn)為A（-4，0），上頂點(diǎn)為D（0，2），
∴a=4，b=2，
故橢圓C的方程為
（2）直線AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設(shè)直線AP的方程為y=k（x+4），從而M（5，9k），設(shè)P（x，y），則，∴直線BP的方程為：，
得
∴
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立
∴時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度取最小值3．
（3）由（2）知，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，，此時(shí)直線BP的方程為
設(shè)與BP平行的直線l'：3x+2y+t=0
聯(lián)立得10x²+6tx+t²-16=0
由△=36t²-40（t²-16）=0得
當(dāng)時(shí)，BP與l'的距離為，此時(shí)S_△BPQ=
當(dāng)時(shí)，BP與l'的距離為，此時(shí)S_△BPQ=
∴當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有4個(gè)
當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有3個(gè)
當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有2個(gè)
當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)有1個(gè)
當(dāng)時(shí)，這樣的Q點(diǎn)不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系，（3）解答關(guān)系是利用方程的思想轉(zhuǎn)化成根的判別等于0的問(wèn)題，另外解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．