(2013•肇慶二模)設F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點.
(1)設橢圓C上的點(
2
2
3
2
)
到F1,F(xiàn)2兩點距離之和等于2
2
,寫出橢圓C的方程;
(2)設過(1)中所得橢圓上的焦點F2且斜率為1的直線與其相交于A,B,求△ABF1的面積;
(3)設點P是橢圓C 上的任意一點,過原點的直線l與橢圓相交于M,N兩點,當直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPN,kPN試探究kPN•kPN的值是否與點P及直線l有關,并證明你的結論.
分析:(1)利用點(
2
2
3
2
)
在橢圓上,橢圓C上的點(
2
2
,
3
2
)
到F1,F(xiàn)2兩點距離之和等于2
2
,求出幾何量,即可求得橢圓C的方程;
(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用S△ABF1=S△AF1F2+S△BF1F2,即可求△ABF1的面積;
(3)利用M,N,P在橢圓上,代入橢圓方程,兩方程相減,再計算kPN•kPN的值,即可得到結論.
解答:解:(1)由于點(
2
2
3
2
)
在橢圓上,所以
(
2
2
)
2
a2
+
(
3
2
)
2
b2
=1
2a=2
2
(2分)
解得
a2=2
b2=1
,(4分)
故橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1
(5分)
(2)由(1)知橢圓C的左右焦點坐標分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),|F1F2|=2
所以,過橢圓的焦點F2且斜率為1的直線方程為y=x-1
將其代入
x2
2
+y2=1
,整理得3x2-4x=0,解得x1=0,x2=
4
3

當x1=0時,y1=-1,當x2=
4
3
時,y2=
1
3

所以△ABF1的面積:S△ABF1=S△AF1F2+S△BF1F2=
1
2
|F1F2|•|y1|+
1
2
|F1F2|•|y2|=
1
2
×2×1+
1
2
×2×
1
3
=
4
3
(9分)
(3)過原點的直線L與橢圓
x2
2
+y2=1
相交的兩點M,N關于坐標原點對稱,
設M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y),
∵M,N,P在橢圓上,
x
2
0
2
+
y
2
0
=1,
x2
2
+y2=1

兩式相減得
y2-
y
2
0
x2-
x
2
0
=-
1
2

又∵kPN=
y-y0
x-x0
,kPN=
y+y0
x+x0
,
kPNkPN=
y-y0
x-x0
y+y0
x+x0
=
y2-
y
2
0
x2-
x
2
0
=-
1
2

故:kPN•kPN的值與點P的位置無關,同時與直線l無關.(14分)
點評:本題考查橢圓的定義,考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查三角形面積的計算,考查點差法的運用,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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π
4
)=
2
2
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y=2t+2
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,+∞)
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π
2
0
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8
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