【題目】已知兩個無窮數(shù)列的前項和分別為、,,對任意的,都有.

1)求數(shù)列的通項公式;

2)若為等差數(shù)列,對任意的,都有,證明:;

3)若為等比數(shù)列,,求滿足)的的值.

【答案】1;(2)證明見解析;(312.

【解析】

1)運用數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義和通項公式,即可得到所求;

2)設數(shù)列{bn}的公差為d,求出Sn,Tn.由恒成立思想可得b11,求出anbn,判斷符號即可得證;

3)運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式,求得Sn,Tn,化簡,推出小于3,結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列的單調(diào)性,即可得到所求值.

1)由3Sn+12Sn+Sn+2+an,得2Sn+1Sn)=Sn+2Sn+1+an,

2an+1an+2+an,所以an+2an+1an+1an

a11S24,可知a23

所以數(shù)列{an}是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列.

{an}的通項公式為an1+2n1)=2n1,nN*

2)設數(shù)列{bn}的公差為d,

Tnnb1nn1d,

由(1)知,Snn1+2n1)=n2

因為SnTn,所以n2nb1nn1d,

即(2dn+d2b10恒成立,

所以,即,

又由S1T1,得b11,

所以anbn2n1b1﹣(n1d=(2dn+d1b12d+d1b11b10

所以anbn,得證.

3)由(1)知,Snn2.因為{bn}為等比數(shù)列,

b11b23,

所以{bn}是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列.

所以bn3n1,Tn3n1).

3

因為nN*,所以6n22n+20,所以3

ak2k1,所以1,即3n1n2+n10*).

n1,2時,(*)式成立;

n2時,設fn)=3n1n2+n1,

fn+1)﹣fn)=3n﹣(n+12+n﹣(3n1n2+n1)=23n1n)>0,

所以0f2)<f3)<…<fn)<…,

故滿足條件的n的值為12

練習冊系列答案
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(1) 求的值

(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取人,再從這人中隨機抽取人進行問卷調(diào)查,求在第1組已被抽到人的前提下,第3組被抽到人的概率;

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