Question

選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|x+l|-|x-2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a-2|的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于函數(shù)f（x）=|x+l|-|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，
而

3

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離正好等于2，由此可得不等式f（x）≥2 的解集．
（Ⅱ）先求得f（x）的最小值等于3，則由題意可得3≤|a-2|，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由于函數(shù)f（x）=|x+l|-|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離
減去它到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，而

3

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離正好等于2，
故不等式f（x）≥2 的解集為[2，+∞）．
（Ⅱ）由不等式f（x）≤|a-2|的解集為R，可得f（x）的最小值小于或等于|a-2|．
而f（x）的最小值等于3，∴3≤|a-2|，∴a-2≤-3，或a-2≥3．
解得 a≤-1，或 a≥5，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為 {a|a≤-1，或 a≥5}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義．絕對(duì)值不等式的解法，屬于中檔題．