【題目】已知函數(shù)

1)若函數(shù)處取得極值1,證明:

2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】1)證明見詳解;(2

【解析】

1)求出函數(shù)的導函數(shù),由處取得極值1,可得.解出,構(gòu)造函數(shù),分析其單調(diào)性,結(jié)合,即可得到的范圍,命題得證;
2)由分離參數(shù),得到恒成立,構(gòu)造函數(shù),求導函數(shù),再構(gòu)造函數(shù),進行二次求導.,則上單調(diào)遞增.根據(jù)零點存在定理可知有唯一零點,且.由此判斷出時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增,則,即.,再次構(gòu)造函數(shù),求導分析單調(diào)性,從而得,即,最終求得,則.

解:(1)由題知,

∵函數(shù),處取得極值1,

,且,

,

,則

為增函數(shù),

,即成立.

2)不等式恒成立,

即不等式恒成立,即恒成立,

,則

,則,

,

上單調(diào)遞增,且

有唯一零點,且

時,,,單調(diào)遞減;

時,,單調(diào)遞增.

整理得

,

,則方程等價于

上恒大于零,

上單調(diào)遞增,

.

,

∴實數(shù)的取值范圍為.

練習冊系列答案
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同步練習冊答案
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