Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個焦點與${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦點重合，點$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），若$|PQ|=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的方程，求得焦點坐標，即可求得c，將點代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓的方程；
（2）將直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，中點坐標及$\frac{{{y_0}-0}}{{{x_0}+1}}=-\frac{1}{k}$，則3km=1+4k²，求得丨PQ丨，$|PQ|=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，即可求得k的值．

解答 解：（1）拋物線${y^2}=4\sqrt{3}x$的焦點為$（\sqrt{3}，0）$，故得$c=\sqrt{3}$，
所以a²=b²+3，因點$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$在橢圓C上，
∴$\frac{3}{a^2}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1$，解得a²=4，b²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的中點為（x₀，y₀），
將直線y=kx+m（k≠0）代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴△=16（1+4k²-m²）＞0，則${x_0}=\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）=-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}$，${y_0}=\frac{1}{2}（{y_1}+{y_2}）=-\frac{m}{{1+4{k^2}}}$，
因為（-1，0）是以PQ為對角線的菱形的一頂點，且不在橢圓上，
所以$\frac{{{y_0}-0}}{{{x_0}+1}}=-\frac{1}{k}$，即3km=1+4k²，解得${k^2}＞\frac{1}{5}$，則$|PQ|=\frac{{\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{16（1+4{k^2}-{m^2}）}}}{{1+4{k^2}}}$，
由$\frac{{\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{16（1+4{k^2}-{m^2}）}}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$及3km=1+4k²，解得k²=2或$\frac{1}{2}$，均滿足${k^2}＞\frac{1}{5}$，
∴$k=±\sqrt{2}$或$±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，拋物線的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，中點坐標公式，考查弦長公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．