Question

6．若直線l與橢圓$C：\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$交于A，B兩點，若A，B中點坐標為（1，1），則弦AB的垂直平分線方程為5x+9y-14=0．

Answer 1

分析 設(shè)以（1，1）為中點的弦交橢圓$C：\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中點從坐標公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入5x²+9y²=45，得5x₁²+9y₁²=45…①5x₂²+9y₂²=45…②，①-②，得5（x₁-x₂）+9（y₁-y₂）=0，求得k即可．

解答 解：設(shè)以（1，1）為中點的弦交橢圓$C：\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中點從坐標公式知x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入5x²+9y²=45，得
5x₁²+9y₁²=45…①5x₂²+9y₂²=45…②
①-②，得5（x₁-x₂）+9（y₁-y₂）=0，
k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=-\frac{5}{9}$，
∴此弦所在的直線方程為y-1=-$\frac{5}{9}$（x-1），
即5x+9y-14=0．
故答案為：5x+9y-14=0．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，點差法的合理運用，屬于基礎(chǔ)題．