Question

10．已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+$\frac{1-x}{1+x}（{x≥0}）$，其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出a的范圍即可．

解答 解：定義域為[0，+∞）.$f'（x）=\frac{a}{ax+1}-\frac{2}{{{{（1+x）}^2}}}=\frac{{a{x^2}+a-2}}{{（ax+1）{{（1+x）}^2}}}$．
（Ⅰ）若a=1，則$f'（x）=\frac{{{x^2}-1}}{{（x+1）{{（1+x）}^2}}}$，令f'（x）=0，得x=1（舍-1），

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以a=1時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）．
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{{a{x^2}+a-2}}{{（ax+1）{{（1+x）}^2}}}$，∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0，
①當(dāng)a≥2時，在區(qū)間（0，+∞）上，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
所以f（x）的最小值是f（0）=1；
②當(dāng)0＜a＜2時，由f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$，
由f′（x）＜0，解得：x＜$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$），單調(diào)遞增區(qū)間是（$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$，+∞），
所以f（x）在x=$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$處取得最小值，注意到f（$\sqrt{\frac{2-a}{a}}$）＜f（0）=1，所以不滿足，
綜上可知，若f（x）得最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．