【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中點,已知AB=2,AD=2 ,PA=2,求:

(1)三角形PCD的面積;
(2)異面直線BC與AE所成的角的大。

【答案】
(1)解:∵PA⊥底面ABCD,CD底面ABCD,

∴CD⊥PA.

∵矩形ABCD中,CD⊥AD,而PA、AD是平面PAD的交線.

∴CD⊥平面PDA,

∵PD平面PDA,∴CD⊥PD,三角形PCD是以D為直角頂點的直角三角形.

∵Rt△PAD中,AD=2 ,PA=2,

∴PD= =2

∴三角形PCD的面積S= ×PD×DC=2


(2)解:[解法一]

如圖所示,建立空間直角坐標系,可得B(2,0,0),C(2,2 ,0),E(1, ,1).

=(1, ,1), =(0,2 ,0),

設(shè) 夾角為θ,則cosθ= = = ,

∴θ= ,由此可得異面直線BC與AE所成的角的大小為

[解法二]

取PB的中點F,連接AF、EF、AC,

∵△PBC中,E、F分別是PC、PB的中點,

∴EF∥BC,∠AEF或其補角就是異面直線BC與AE所成的角.

∵Rt△PAC中,PC= =4.

∴AE= PC=2,

∵在△AEF中,EF= BC= ,AF= PB=

∴AF2+EF2=AE2,△AEF是以F為直角頂點的等腰直角三角形,

∴∠AEF= ,可得異面直線BC與AE所成的角的大小為


【解析】(1)可以利用線面垂直的判定與性質(zhì),證明出三角形PCD是以D為直角頂點的直角三角形,然后在Rt△PAD中,利用勾股定理得到PD=2 ,最后得到三角形PCD的面積S;(2)[解法一]建立如圖空間直角坐標系,可得B、C、E各點的坐標,從而 =(1, ,1), =(0,2 ,0),利用空間向量數(shù)量積的公式,得到 夾角θ滿足:cosθ= ,由此可得異面直線BC與AE所成的角的大小為 ;[解法二]取PB的中點F,連接AF、EF,△PBC中,利用中位線定理,得到EF∥BC,從而∠AEF或其補角就是異面直線BC與AE所成的角,然后可以通過計算證明出:△AEF是以F為直角頂點的等腰直角三角形,所以∠AEF= ,可得異面直線BC與AE所成的角的大小為
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線;2、補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系;垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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【題目】袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球,分別寫有和、“諧”、“!薄皥@”四個字,有放回地從中任意摸出一個小球,直到“和”、“諧”兩個字都摸到就停止摸球,用隨機模擬的方法估計恰好在第三次停止摸球的概率。利用電腦隨機產(chǎn)生之間取整數(shù)值的隨機數(shù),分別用,,代表“和”、“諧”、“!、“園”這四個字,以每三個隨機數(shù)為一組,表示摸球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下組隨機數(shù):

由此可以估計,恰好第三次就停止摸球的概率為( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),若是函數(shù)的唯一極值點,則實數(shù)的取值范圍是( )

A. B. C. D.

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【題目】某種植園在芒果臨近成熟時,隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果,其質(zhì)量分別在,,,(單位:克)中,經(jīng)統(tǒng)計的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表);

(2)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為[200,250),[250,300)的芒果中隨機抽取5個,再從這5個中隨機抽取2個,求這2個芒果都來自同一個質(zhì)量區(qū)間的概率;

(3)某經(jīng)銷商來收購芒果,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表,用樣本估計總體,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個,經(jīng)銷商提出以下兩種收購方案:

方案①:所有芒果以9元/千克收購;

方案②:對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購,對質(zhì)量高于或等于250克的芒果以3元/個收購.

通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多.

參考數(shù)據(jù):

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【題目】設(shè)10≤x1<x2<x3<x4≤104 , x5=105 , 隨機變量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均為0.2,隨機變量ξ2取值 、 、 、 的概率也均為0.2,若記Dξ1、Dξ2分別為ξ1、ξ2的方差,則(
A.Dξ1>Dξ2
B.Dξ1=Dξ2
C.Dξ1<Dξ2
D.Dξ1與Dξ2的大小關(guān)系與x1、x2、x3、x4的取值有關(guān)

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(1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線,求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積;
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(3)設(shè)橢圓C2:4x2+y2=1,若M、N分別是C1、C2上的動點,且OM⊥ON,求證:O到直線MN的距離是定值.

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A.
B.
C.
D.

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【題目】已知函數(shù).

(1)當,求的最值;

(2)若有兩個不同的極值點,求的取值范圍.

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(參考數(shù)據(jù):

A. B. C. D.

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