精英家教網(wǎng)如圖,公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地,現(xiàn)修成草坪,圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分,D在AB上,E在AC上.
(1)設(shè)AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果DE是灌溉水管,為節(jié)約成本,希望它最短,DE的位置應(yīng)在哪里?如果DE是參觀線路,則希望它最長,DE的位置又應(yīng)在哪里?請予證明.
分析:(1)先根據(jù)S△ADE=
1
2
S△ABC求得x和AE的關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)余弦定理把x和AE的關(guān)系代入求得x和y的關(guān)系.
(2)根據(jù)均值不等式求得y的最小值,求得等號成立時的x的值,判斷出DE∥BC,且DE=
2
.進(jìn)而可得函數(shù)f(x)的解析式,根據(jù)其單調(diào)性求得函數(shù)的最大值.
解答:解(1)在△ADE中,y2=x2+AE2-2x•AE•cos60°?y2=x2+AE2-x•AE,①
又S△ADE=
1
2
S△ABC=
3
2
22=
1
2
x•AE•sin60°?x•AE=2.②
②代入①得y2=x2+(
2
x
)2
-2(y>0),
∴y=
x2+
4
x2
-2
(1≤x≤2);
(2)如果DE是水管y=
x2+
4
x2
-2
2•2-2
=
2
,
當(dāng)且僅當(dāng)x2=
4
x2
,即x=
2
時“=”成立,故DE∥BC,且DE=
2

如果DE是參觀線路,記f(x)=x2+
4
x2
,
可知函數(shù)在[1,
2
]上遞減,在[
2
,2]上遞增,
故f(x)max=f(1)=f(2)=5.∴ymax=
5-2
=
3

即DE為AB中線或AC中線時,DE最長.
點(diǎn)評:本題主要考查了基本不等式.考查了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地,現(xiàn)修成草坪,圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分,D在AB上,E在AC上.
(1)設(shè)AD=x,ED=y,求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果DE是灌溉水管,為節(jié)約成本,希望它最短,DE的位置應(yīng)在哪里?請說明理由.

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(2)如果DE是灌溉水管,為節(jié)約成本,希望它最短,DE的位置應(yīng)在哪里?如果DE是參觀線路,則希望它最長,DE的位置又應(yīng)在哪里?請予證明.

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如圖,公園有一塊邊長為2的等邊△ABC的邊角地,現(xiàn)修成草坪,圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分,D在AB上,E在AC上.(Ⅰ)設(shè)AD=x(x0),ED=y,求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式,并注明函數(shù)的定義域;

(Ⅱ)如果DE是灌溉水管,為節(jié)約成本,希望它最短,DE的位置應(yīng)在哪里?

如果DE是參觀線路,則希望它最長,DE的位置又應(yīng)在哪里?

 

 

請給予證明.

 

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