設(shè)直線與雙曲線交于A、B，且以AB為直徑的圓過原點，求點的軌跡方程．

2y2－x2＝1(x2<3)．

解析試題分析：將直線與雙曲線方程聯(lián)立，消去y（或x），得到關(guān)于x的一元二次方程。由題意知方程有兩根，故二次項系數(shù)不為0，且判別式大于0，解出a的范圍，即所求軌跡方程的定義域。根據(jù)韋達定理得到兩根之和，兩根之積（整體計算比計算出兩個根要簡單）。根據(jù)且以AB為直徑的圓過原點，可得直線AO和直線BO垂直，可利用斜率之積等于列式計算，但這種情況需對斜率存在與否進行討論。為了省去討論的麻煩可用向量問題來解決。詳見解析。
試題解析： 解：聯(lián)立直線與雙曲線方程得，消去y得：(a2－3)x2＋2abx＋b2＋1＝0.
∵直線與雙曲線交于A、B兩點，∴⇒a2<3.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1＋x2＝，x1·x2＝.
由⊥得x1x2＋y1y2＝0，又y1·y2＝(ax1＋b)(ax2＋b)＝a2x1x2＋ab(x1＋x2)＋b2，
∴有＋a2·－＋b2＝0.
化簡得：a2－2b2＝－1.故P點(a，b)的軌跡方程為2y2－x2＝1(x2<3)．
考點：直接法求軌跡方程

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的右頂點為A（2，0），點P（2e，）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．

（1）求橢圓的方程；
（2）若點B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿足，且，求實數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓:的離心率為，過橢圓右焦點的直線與橢圓交于點（點在第一象限）.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知為橢圓的左頂點，平行于的直線與橢圓相交于兩點.判斷直線是否關(guān)于直線對稱，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

給定橢圓，稱圓心在坐標原點O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個焦點分別是.
（1）若橢圓C上一動點滿足，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點作直線l與橢圓C只有一個交點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為，求P點的坐標；
（3）已知，是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點的直線的最短距離.若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（13分） 已知橢圓C的中心在原點，離心率等于，它的一個短軸端點點恰好是拋物線 的焦點。

（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是橢圓上的兩點，A,B是橢圓上位于直線ＰＱ兩側(cè)的動點，
①若直線ＡＢ的斜率為，求四邊形ＡＰＢＱ面積的最大值；
②當Ａ、B運動時，滿足＝，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：.

(1)橢圓的短軸端點分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點，其中點滿足，且.
①證明直線與軸交點的位置與無關(guān)；
②若∆面積是∆面積的5倍，求的值；
(2)若圓:.是過點的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點,交橢圓于另一點.求面積取最大值時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)直線與雙曲線交于A、B，且以AB為直徑的圓過原點，求點的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓 的左、右焦點分別是、,是橢圓右準線上的一點，線段的垂直平分線過點.又直線：按向量平移后的直線是，直線：按向量平移后的直線是 (其中)。
（1） 求橢圓的離心率的取值范圍。
（2）當離心率最小且時，求橢圓的方程。
（3）若直線與相交于（2）中所求得的橢圓內(nèi)的一點，且與這個橢圓交于、兩點，與這個橢圓交于、兩點。求四邊形ABCD面積的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為
(1)求橢圓方程；
(2)過點的直線與橢圓交于不同的兩點，當面積最大時，求

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