【題目】設(shè)定義在D上的函數(shù)在點處的切線方程為,當時,若在D內(nèi)恒成立,則稱P點為函數(shù)的“類對稱中心點”,則函數(shù)的“類對稱中心點”的坐標是________.
【答案】
【解析】
由求導(dǎo)公式求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和條件求出切線方程,再求出y=g(x),設(shè)F(x)=f(x)﹣g(x),求出導(dǎo)數(shù)化簡后利用分類討論和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,判斷出F(x)的單調(diào)性和最值,從而可判斷出的符號,再由“類對稱中心點”的定義確定“類對稱中心點”的坐標.
解:由題意得,f′(x),f(x0)(x>0),
即函數(shù)y=f(x)的定義域D=(0,+∞),
所以函數(shù)y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程l方程為:
y﹣()=()(x﹣x0),
則g(x)=()(x﹣x0)+(),
設(shè)F(x)=f(x)﹣g(x)lnx﹣[()(x﹣x0)+()],
則F(x0)=0,
所以F′(x)=f′x)﹣g′(x)()
當0<x0<e時,F(x)在(x0,)上遞減,
∴x∈(x0,)時,F(x)<F(x0)=0,此時,
當x0>e時,F(x)在(,x0)上遞減;
∴x∈(,x0)時,F(x)>F(x0)=0,此時,
∴y=F(x)在(0,e)∪(e,+∞)上不存在“類對稱點”.
若x0=e,0,則F(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
當x>x0時,F(x)>F(x0)=0,當x<x0時,F(x)<F(x0)=0,
故,
即此時點P是y=f(x)的“類對稱點”,
綜上可得,y=F(x)存在“類對稱點”,e是一個“類對稱點”的橫坐標,
又f(e),所以函數(shù)f(x)的“類對稱中心點”的坐標是,
故答案為:.
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【題目】已知P,A,B,C是半徑為2的球面上的點,PA=PB=PC=2,,點B在AC上的射影為D,則三棱錐體積的最大值為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(a為常數(shù))與x軸有唯一的公共點A.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)曲線在點A處的切線斜率為,若存在不相等的正實數(shù),,滿足,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】至年底,我國發(fā)明專利申請量已經(jīng)連續(xù)年位居世界首位,下表是我國年至年發(fā)明專利申請量以及相關(guān)數(shù)據(jù).
注:年份代碼~分別表示~.
(1)可以看出申請量每年都在增加,請問這幾年中哪一年的增長率達到最高,最高是多少?
(2)建立關(guān)于的回歸直線方程(精確到),并預(yù)測我國發(fā)明專利申請量突破萬件的年份.
參考公式:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為,
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【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分別是線段AD,PB的中點,PA=AB=1.
(1)證明:EF∥平面PDC;
(2)求點F到平面PDC的距離.
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【題目】已知數(shù)集(,)具有性質(zhì):對任意的、(),與兩數(shù)中至少有一個屬于.
(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì),并說明理由;
(2)證明:,且;
(3)證明:當時,、、、、成等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在四棱錐S﹣AFCD中,平面SCD⊥平面AFCD,∠DAF=∠ADC=90°,AD=1,AF=2DC=4,,B,E分別為AF,SA的中點.
(1)求證:平面BDE∥平面SCF
(2)求二面角A﹣SC﹣B的余弦值
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