Question

命題p：函數(shù)f（x）=x³-ax²+3ax+1在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)存在極值；命題q：（a+1）y²-x²=a-1表示焦點在x軸上的雙曲線．已知命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：本題的關(guān)鍵是給出命題p：函數(shù)f（x）=x³-ax²+3ax+1在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)存在極值；命題q：（a+1）y²-x²=a-1表示焦點在x軸上的雙曲線為真時a的取值范圍，在利用p、q一真一假求解a的取值范圍

解答： 解：∵命題p：函數(shù)f（x）=x³-ax²+3ax+1在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)存在極值
∴若命題p為真，那么f′（x）=3x²-2ax+3a，當(dāng)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)存在極值，
則△=（-2a）²-36a＞0，
解得 a＞9或a＜0．
∵命題q：（a+1）y²-x²=a-1表示焦點在x軸上的雙曲線．
∴若命題q為真，方程（a+1）y²-x²=a-1可化為

x2

1-a

-

y2

1-a a+1

=1，
則由

1-a＞0 1-a a+1 ＞0

解得，-1＜a＜1
∵命題p或q為真命題，命題p且q為假命題
∴p、q必然一真一假．
①當(dāng)p真q假時，則

a＞9或a＜0 a≤-1或a≥1

，解得a≤-1或a＞9；
②當(dāng)p假q真時，則

0≤a≤9 -1＜a＜1

，解得0≤a＜1；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1）∪[0，1）∪（9，+∞）．

點評：本題考查的知識點是復(fù)合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復(fù)合命題的簡單命題的真假，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷．