Question

已知函數(shù)f(x)＝，x∈[－1,1]，函數(shù)g(x)＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值為h(a)．

(1)求h(a)；

(2)是否存在實(shí)數(shù)m、n同時(shí)滿足下列條件：

①m＞n＞3；

②當(dāng)h(a)的定義域?yàn)?/span>[n，m]時(shí)，值域?yàn)?/span>[n2，m2]？若存在，求出m、n的值；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）h(a)＝（2）不存在

【解析】(1)∵x∈[－1,1]，∴f(x)＝∈.設(shè)t＝，t∈，

則y＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.

當(dāng)a＜時(shí)，ymin＝h(a)＝φ＝；

當(dāng)≤a≤3時(shí)，ymin＝h(a)＝φ(a)＝3－a2；

當(dāng)a＞3時(shí)，ymin＝h(a)＝φ(3)＝12－6a.

∴h(a)＝

(2)假設(shè)滿足題意的m、n存在，∵m＞n＞3，∴h(a)＝12－6a在(3，＋∞)上是減函數(shù)．∵h(a)的定義域?yàn)?/span>[n，m]，值域?yàn)?/span>[n2，m2]，∴，由②－①得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，∵m＞n＞3，∴m＋n＝6，但這與“m＞n＞3”矛盾，∴滿足題意的m、n不存在．