Question

8．定義在R上的偶函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)且f（1）=0，則不等式$f（{log_{\frac{1}{2}}}x）＞0$的解集為$\{x|0＜x＜\frac{1}{2}$或x＞2}．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性分析可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，進(jìn)而可以將不等式$f（{log_{\frac{1}{2}}}x）＞0$轉(zhuǎn)化為|$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$|＞1，解可得x的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，定義在R上的偶函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，
若$f（{log_{\frac{1}{2}}}x）＞0$，則|$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$|＞1，
即|log₂x|＞log₂2，
解可得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞2，
即不等式$f（{log_{\frac{1}{2}}}x）＞0$的解集為$\{x|0＜x＜\frac{1}{2}$或x＞2}；
故答案為：$\{x|0＜x＜\frac{1}{2}$或x＞2}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性綜合應(yīng)用，注意對(duì)數(shù)函數(shù)定義域．