Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為3，則
（Ⅰ）m=

 

；
（Ⅱ）對任意a∈R，f（x）在[a，a+20π]上的零點個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，利用函數(shù)的最大值，求得m的值．
（Ⅱ）根據已知推斷區(qū)間的長度為20π，求得函數(shù)的最小正周期，推斷出在此區(qū)間共有多少個周期，利用每個周期內零點的個數(shù)推斷出共計的零點個數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m=

3

sin2x+cos2x+1+m=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1+m=2sin（2x+

π

6

）+1+m，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∵sin（2x+

π

6

）最大值為1，
∴f（x）_max=3+m=3，此時m=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴T=

2π

2

=π，
∴對于區(qū)間[a，a+20π]的長度為20π+a-a=20π，
∴在此區(qū)間上，函數(shù)f（x）可以有20個周期，
當a=-

π

12

+kπ（k∈Z）時，在第一個周期內恰有3個零點，以后每個周期均由2個零點，則此時零點個數(shù)為：20×2+1=41．
當a≠-

π

12

+kπ（k∈Z）時，在每個周期內有2個零點，則此時零點個數(shù)為：20×2=40．
綜合得零點的個數(shù)為40或41個，
故答案為：40或41．

點評：本題主要考查了三角形恒等變換的應用，三角函數(shù)圖象與性質．此題要特別考慮到a=-

π

12

+kπ這一特殊情況，防止漏解．