Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）設(shè)．

①若，求函數(shù)的零點(diǎn)；

②若函數(shù)存在零點(diǎn)，求的取值范圍．

（2）設(shè)，若對(duì)任意恒成立，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1，；（2）.

【解析】

分析：（1）①將代入解析式，分類(lèi)討論解方程即可得結(jié)果；②討論的符號(hào)，同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果；（2）對(duì)任意恒成立，等價(jià)于的最大值與最小值的差不大于，分三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，分別求出最大值與最小值，綜合三種情況可得結(jié)果.

詳解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，

①若a=，則由F（x）=x﹣|x|﹣=0得： |x|=x﹣，

當(dāng)x≥0時(shí)，解得：x=1；

當(dāng)x＜0時(shí)，解得：x=（舍去）；

綜上可知，a=時(shí)，函數(shù)y=F（x）的零點(diǎn)為1；

②若函數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)，則x﹣a=a|x|，

當(dāng)a＞0時(shí)，作圖如下：

由圖可知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，折線y=a|x|與直線y=x﹣a有交點(diǎn)，即函數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)；

同理可得，當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，求數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)；

又當(dāng)a=0時(shí)，y=x與y=0有交點(diǎn)（0，0），函數(shù)y=F（x）存在零點(diǎn)；

綜上所述，a的取值范圍為（﹣1，1）．

（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，

∴當(dāng)﹣2≤x＜0時(shí)，h（x）=（1﹣a）x﹣a；

當(dāng)0≤x≤2時(shí)，h（x）=（1+a）x﹣a；

又對(duì)任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，

則h（x1）max﹣h（x2）min≤6，

①當(dāng)a≤﹣1時(shí)，1﹣a＞0，1+a≤0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在區(qū)間[﹣2，0）上單調(diào)遞增；

h（x）=（1+a）x﹣a在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減（當(dāng)a=﹣1時(shí)，h（x）=﹣a）；

∴h（x）max=h（0）=﹣a，又h（﹣2）=a﹣2，h（2）=2+a，

∴h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，

∴﹣a﹣（a﹣2）=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，

綜上，﹣2≤a≤﹣1；

②當(dāng)﹣1＜a＜1時(shí)，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h（x）=（1﹣a）x﹣a在區(qū)間[﹣2，0）上單調(diào)遞增，

且h（x）=（1+a）x﹣a在區(qū)間[0，2]上也單調(diào)遞增，

∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，

由a+2﹣（a﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1適合題意；

③當(dāng)a≥1時(shí)，1﹣a≤0，1+a＞0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在區(qū)間[﹣2，0）上單調(diào)遞減

（當(dāng)a=1時(shí)，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增；

∴h（x）min=h（0）=﹣a；

又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），

∴h（x）max=h（2）=2+a，

∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，

∴1≤a≤2；

綜上所述，﹣2≤a≤2．