Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）+7=0．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程并指出其形狀；
（2）設(shè)P（x，y）是曲線C上的動點，求t=（x+1）（y+1）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式即可得出普通方程．
（2）設(shè)x=2+cosθ，y=2+sinθ．利用三角函數(shù)換元、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解�。�1）由ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos+7=0可得ρ²-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0，化為直角坐標(biāo)方程得x²+y²-4x-4y+7=0，
即（x-2）²+（y-2）²=1，它表示以（2，2）為圓心，以1為半徑的圓．
（2）由題意可設(shè)x=2+cosθ，y=2+sinθ．
則t=（x+1）（y+1）=（3+cosθ）（3+sinθ）=9+3（sinθ+cosθ）+sinθcos．
令sinθ+cosθ=m，平方可得1+2sinθcosθ=m²，
所以sinθcosθ=$\frac{{m}^{2}-1}{2}$，t=9+3m+$\frac{{m}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$m²+3m+$\frac{17}{2}$（-$\sqrt{2}$≤m≤$\sqrt{2}$）．
由二次函數(shù)的圖象可知t的取值范圍為$[\frac{19}{2}-3\sqrt{2}，\frac{19}{2}+3\sqrt{2}]$

點評 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化公式、三角函數(shù)換元、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．