Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）若，求在區(qū)間上的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

由題意得；

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求得，，根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程；

（Ⅱ）由題意得兩個(gè)不等的正根，令，則，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，由此可求出答案；

（Ⅲ）由題意可得，由二階導(dǎo)的取值符號(hào)可得到的單調(diào)性，得到，由此可求出函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而求出最值．

解：∵，

∴；

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即；

（Ⅱ）∵若有兩個(gè)極值點(diǎn)，

∴有兩個(gè)不等的正根，即兩個(gè)不等的正根，

令，，，

令，

當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，

因?yàn)?/span>兩個(gè)不等的正根，

∴，得，

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是；

（Ⅲ）∵，

∴，，

∵，，令，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，

故，

∴在上單調(diào)遞減，

故在上的最小值為．