Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0．且a₂，a₅，a₁₄分別是等比數(shù)列{b_n}的b₁，b₂，b₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{C_n}對任意自然數(shù)n均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析：（1）由a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列可得關(guān)于公差d的方程，解出d后利用等差數(shù)列的通項公式可得a_n，由b₁=a₂=3，b₂=a₅=9得公比q，利用等比數(shù)列通項公式可得b_n；
（2）

C1

3

+

C2

32

+…+

Cn

3n

=2n+1，得n≥2時，

C1

3

+

C2

32

+…+

Cn-1

3n-1

=2n-1，兩式作差可得

Cn

3n

=2，從而求得Cn=2•3n（n≥2），易求C₁=9，由{C_n}的通項公式及等比數(shù)列求和公式可得答案；

解答：解：（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，且a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1，
又b₁=a₂=3，b₂=a₅=9，
∴q=3，bn=3•3n-1=3n；
（2）

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，即

C1

3

+

C2

32

+…+

Cn

3n

=2n+1①，
則n≥2時，

C1

3

+

C2

32

+…+

Cn-1

3n-1

=2n-1②，
①-②得，

Cn

3n

=2，所以Cn=2•3n（n≥2），
n=1時，C₁=9，
所以Cn=

2•3n，n≥2 9，n=1

，
所以c₁+c₂+…+c₂₀₁₃=9+2•3²+2•3³+…+2•3²⁰¹³
=9+2•

32(1-32012)

1-3

=3²⁰¹⁴；

點評：本題考查數(shù)列求和、等差等比數(shù)列的通項公式，考查學生的推理論證能力、運算求解能力．