△ABC是正三角形,線段EA和DC都垂直于平面ABC.設(shè)EA=AB=2a,DC=a,且F為BE的中點(diǎn),如圖.

(1)求證:DF∥平面ABC;
(2)求證:AF⊥BD;
(3)求平面BDF與平面ABC所成二面角的大小.
  (1)證明:如圖所示,取AB中點(diǎn)G,連結(jié)CG、FG.

∵EF=FB,AG=GB,
∴FG.
又DC,∴FGDC.
∴四邊形CDFG為平行四邊形,
故DF∥CG.
∵平面ABC,平面ABC,
∴DF∥平面ABC.
(2)證明:∵EA⊥平面ABC,
∴EA⊥CG.
又△ABC是正三角形，
∴CG⊥AB.
∴CG⊥平面AEB.
∴CG⊥AF.
又∵DF∥CG,∴DF⊥AF.
又AE=AB,F為BE中點(diǎn),
∴AF⊥BE.又BE∩DF=F,
∴AF⊥平面BDE.
∴AF⊥BD.
(3)解:延長ED交AC延長線于G′,連結(jié)BG′.
由,CD∥AE知D為EG′中點(diǎn),
∴FD∥BG′.
由CG⊥平面ABE,FD∥CG,
∴BG′⊥平面ABE.
∴∠EBA為所求二面角的平面角.
在等腰直角三角形AEB中,易求∠ABE="45°."
空間直線和平面
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題


如圖所示，已知四棱錐S—ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分別是CD、SC的中點(diǎn)，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=.
（1）求證：MN⊥平面ABN；
（2）求二面角A—BN—C的余弦值.


 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

軸截面是直角三角形的圓錐的底面半徑為r，則其軸截面面積為________.

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如圖，正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，點(diǎn)在棱上．
（1）若，求證：直線平面；
（2）是否存在點(diǎn)，使平面⊥平面，若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，使二面角平面角的大小為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知：直線，平面，如圖．求證：直線與平面相交．
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB=1，AA1=2,點(diǎn)E為CC1中點(diǎn),點(diǎn)F為BD1中點(diǎn).

(1)證明:EF為BD1與CC1的公垂線(即證EF與BD1、CC1都垂直);
(2)求點(diǎn)D1到面BDE的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

 如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn).問：
（1）AM和CN是否是異面直線？說明理由；
（2）D1B和CC1是否是異面直線？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖所示,在長方體OABC-O1A1B1C1中,|OA|="2," |AB|=3,|AA1|=3,M是OB1與BO1的交點(diǎn),則M點(diǎn)的坐標(biāo)是____________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

下列命題中,正確的是(　　)
A．平行于圓錐的一條母線的截面是等腰三角形
B．平行于圓臺(tái)的一條母線的截面是等腰梯形
C．過圓錐頂點(diǎn)的截面是等腰三角形
D．過圓臺(tái)一個(gè)底面中心的截面是等腰梯形

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