Question

經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為．點(diǎn)、在軌跡上，且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，過(guò)線(xiàn)段（兩端點(diǎn)除外）上的任意一點(diǎn)作直線(xiàn)，使直線(xiàn)與軌跡在點(diǎn)處的切線(xiàn)平行，設(shè)直線(xiàn)與軌跡交于點(diǎn)、．
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：；
（3）若點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于，且△的面積為20，求直線(xiàn)的方程．

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）.

解析試題分析：（1）方法1是利用直接法，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題中條件列式并化簡(jiǎn)進(jìn)而求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；方法2是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離，利用拋物線(xiàn)的定義寫(xiě)出軌跡的方程；（2）由于軸，利用直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率互為相反數(shù)證明；（3）方法1是先將的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并根據(jù)一些幾何性質(zhì)求出、，并將的面積用點(diǎn)的坐標(biāo)表示以便于求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線(xiàn)的方程；方法2是利用（2）中的條件與結(jié)論，利用直線(xiàn)確定點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，借助弦長(zhǎng)公式求出、，并將的面積用點(diǎn)的坐標(biāo)表示以便于求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線(xiàn)的方程.
試題解析：（1）方法1：設(shè)動(dòng)圓圓心為，依題意得，．        1分
整理，得．所以軌跡的方程為．                   2分
方法2：設(shè)動(dòng)圓圓心為，依題意得點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和點(diǎn)到定直線(xiàn)的距離相等，
根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線(xiàn)．                    1分
且其中定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)．
所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為．    2分

（2）由（1）得，即，則．
設(shè)點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線(xiàn)的斜率為
．          3分
由題意知點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，，
則，
即．                  4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a8/0/2naat.png" style="vertical-align:middle;" />，．           5分
由于，即．         6分
所以．                               7分
（3）方法1：由點(diǎn)到的距離等于，可知