【題目】已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+ )﹣a,且x=﹣ 是方程f(x)=0的一個(gè)解.
(1)求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=b在區(qū)間(0, )上恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1 , x2 , x3 , 直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)b的取值范圍及x1+x2+x3的取值范圍(不需要給出解題過(guò)程)
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+ )﹣a,且x=﹣ 是方程f(x)=0的一個(gè)解,
∴f(﹣ )=0,
即2cos(﹣ )sin(﹣ + )﹣a=0,
解得a=sin = ,
∴f(x)=2cosxsin(x+ )﹣
=2cosx( sinx+ cosx)﹣
= sinxcosx+cos2x﹣
= sin2x+ ﹣
= sin2x+ cos2x
=sin(2x+ );
∴函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)= =π
(2)解:令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,
解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z;
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[ +kπ, +kπ],(k∈Z)
(3)解:關(guān)于x的方程f(x)=b在區(qū)間(0, )上恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3,
則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( ,1);
x1+x2+x3的取值范圍是( , )
【解析】(1)根據(jù)f(﹣ )=0求出a的值,再化簡(jiǎn)f(x),求出f(x)的最小正周期;(2)根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),即可求出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是;(3)根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象與性質(zhì),結(jié)合題意,即可得出b與x1+x2+x3的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x>0,A>0)的圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)寫(xiě)出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間
(3)設(shè)不相等的實(shí)數(shù),x1 , x2∈(0,π),且f(x1)=f(x2)=﹣2,求x1+x2的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分圖象如圖所示
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)分析該函數(shù)是如何通過(guò)y=sinx變換得來(lái)的?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率 ,左右焦點(diǎn)分別為 是橢圓在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),圓 與 的延長(zhǎng)線, 的延長(zhǎng)線以及線段 都相切, 為一個(gè)切點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè) ,過(guò) 且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)點(diǎn)直線 交橢圓于 兩點(diǎn),若以 為鄰邊的平行四邊形是菱形,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿(mǎn)分12分) 某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過(guò)):
空氣質(zhì)量指數(shù) | ||||||
空氣質(zhì)量等級(jí) | 級(jí)優(yōu) | 級(jí)良 | 級(jí)輕度污染 | 級(jí)中度污染 | 級(jí)重度污染 | 級(jí)嚴(yán)重污染 |
該社團(tuán)將該校區(qū)在年天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如下圖,把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率.
(Ⅰ)請(qǐng)估算年(以天計(jì)算)全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)(未滿(mǎn)一天按一天計(jì)算);
(Ⅱ)該校年月、日將作為高考考場(chǎng),若這兩天中某天出現(xiàn)級(jí)重度污染,需要凈化空氣費(fèi)用元,出現(xiàn)級(jí)嚴(yán)重污染,需要凈化空氣費(fèi)用元,記這兩天凈化空氣總費(fèi)用為元,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),(1)直線過(guò)且與圓相切,求直線的極坐標(biāo)方程;(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與圓交于, 兩點(diǎn),若,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={x|x2+ax﹣6a2≤0},B={x||x﹣2|<a},
(1)當(dāng)a=1時(shí),求A∩B和A∪B;
(2)當(dāng)BA時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+alnx.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)當(dāng)a=﹣2時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+ 在[1,4]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若方程f(x)=a有四個(gè)不同的解x1 , x2 , x3 , x4 , 且x1<x2<x3<x4 , 則x3(x1+x2)+ 的取值范圍是( )
A.(﹣1,+∞)
B.(﹣1,1]
C.(﹣∞,1)
D.[﹣1,1)
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