Question

17．甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中．則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃，第-次由甲投籃；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$．
（1）求第三次由乙投籃的概率；
（2）在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為ξ．求ξ的分布列、期望及標(biāo)準(zhǔn)差．

Answer 1

分析 （1）由已知利用互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出第三次由乙投籃的概率．
（2）由題意，ξ的取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列、期望及標(biāo)準(zhǔn)差．

解答 解：（1）∵甲、乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中．則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃，
第-次由甲投籃，每次投籃甲、乙命中的概率分別為$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，
∴第三次由乙投籃的概率p=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{13}{18}$．
（2）由題意，ξ的取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，
P（ξ=1）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{7}{18}$，
P（ξ=2）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{1}{2}$

期望E（ξ）=$0×\frac{1}{9}+1×\frac{7}{18}+2×\frac{1}{2}$=$\frac{25}{18}$．
方差D（ξ）=（0-$\frac{25}{18}$）²×$\frac{1}{9}$+（1-$\frac{25}{18}$）²×$\frac{7}{18}$+（2-$\frac{25}{18}$）²×$\frac{1}{2}$=$\frac{149}{324}$，
標(biāo)準(zhǔn)差$\sqrt{D（ξ）}$=$\sqrt{\frac{149}{324}}$=$\frac{\sqrt{149}}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、標(biāo)準(zhǔn)差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．