已知點(diǎn)M是圓C:x2+y2=2上的一點(diǎn),且MH⊥x軸,H為垂足,點(diǎn)N滿足NH=
2
2
MH,記動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)若AB是曲線E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB面積S的最大值.
分析:(Ⅰ)設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M和N的坐標(biāo),由題意把M的坐標(biāo)用N的坐標(biāo)表示,代入圓的方程即可得到答案;
(Ⅱ)由題意設(shè)出直線AB的方程,和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)關(guān)系得到A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與差,由弦長(zhǎng)公式得到k和m的關(guān)系,由點(diǎn)O到AB的距離公式求出距離,代入面積公式后利用配方法求最值.
解答:(Ⅰ)解:(Ⅰ)設(shè)N(x,y),M(x′,y′),則由已知得,x′=x,y=
2
y

代入x2+y2=2得,x2+2y2=2.
所以曲線E的方程為
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)因?yàn)榫段AB的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng),要使三點(diǎn)A、O、B能構(gòu)成三角形,則弦AB不能與x軸垂直,故
可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m
y=kx+m
x2
2
+y2=1
,消去y,并整理,得
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
又△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)>0
所以,x1+x2=-
4km
1+2k2
x1x2=
2(m2-1)
1+2k2

因?yàn)閨AB|=2,
所以
(1+k2)(x2-x1)2
=2
,即(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4
所以(1+k2)[(-
4km
1+2k2
)2-
8(m2-1)
1+2k2
]=4
,即
1
1+k2
=2(1-m2)

因?yàn)?+k2≥1,所以
1
2
m2<1
.                 
又點(diǎn)O到直線AB的距離h=
|m|
1+k2
,
因?yàn)镾=
1
2
|AB|•h=h

所以S2=h2=2m2(1-m2)=-2(m2-
1
2
)2+
1
2

所以0<S2
1
2
,即S的最大值為
2
2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用,直線與曲線聯(lián)立,根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題,是處理這類問(wèn)題的最為常用的方法,但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大,要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力,屬壓軸題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)P是圓C:x2+y2=1外一點(diǎn),設(shè)k1,k2分別是過(guò)點(diǎn)P的圓C兩條切線的斜率.
(1)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,2),求k1•k2的值;
(2)若k1•k2=-1求點(diǎn)P的軌跡M的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)M是圓Cx2y2=2上的一點(diǎn),且MHx軸,H為垂足,點(diǎn)N滿足,記動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程;

(2)若AB是曲線E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB面積S的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知點(diǎn)M是圓C:x2+y2=2上的一點(diǎn),且MH⊥x軸,H為垂足,點(diǎn)N滿足NH=
2
2
MH,記動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)若AB是曲線E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB面積S的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年浙江省溫州市蒼南縣求知中學(xué)高三(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知點(diǎn)M是圓C:x2+y2=2上的一點(diǎn),且MH⊥x軸,H為垂足,點(diǎn)N滿足NH=MH,記動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)若AB是曲線E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB面積S的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案