Question

【題目】已知?jiǎng)又本�與焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為的曲線相交于兩點(diǎn)（為曲線的坐標(biāo)原點(diǎn)），且.

（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：和都為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意布列關(guān)于基本量的方程組，即可得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）對(duì)直線的斜率分類討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入，得

，結(jié)合韋達(dá)定理即可得到結(jié)果.

解：（1）∵曲線的離心率為，∴該曲線為橢圓，

∵曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，

∴，，∴

∴曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，當(dāng)關(guān)于軸對(duì)稱，

設(shè)，得，，在橢圓上，得，

又∵，得

聯(lián)立與，可得

∴，同理可得：

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入，得

，

∵，且直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴由根與系數(shù)關(guān)系的，，

∴

因?yàn)?/span>到直線的距離，，

∴

令，即有，可推出，得

即，此時(shí)

,

綜上所述，，