Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn ， a1=1，an≠0，2anan+1=tSn﹣2，其中t為常數(shù)． （Ⅰ）設(shè)bn=an+1+an ， 求證：{bn}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）若t=4，求Sn ．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：2anan+1=tSn﹣2①，2an+1an+2=tSn+1﹣2②， ②﹣①可得2an+1（an+2﹣an）=tSn+1﹣tSn=tan+1
因為an+1≠0，所以 ，
，
因為t為常數(shù)，所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列．
（II）若t=4，由（I）可得an+2﹣an=2
即數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為2的等差數(shù)列，
由a1=1，可得a2=2a1﹣1=1，
當n為奇數(shù)時，{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為 項
所以 ，
當n為偶數(shù)時，{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為 項
所以 ，
綜上，
【解析】（Ⅰ）利用2anan+1=tSn﹣2，將條件變形，利用等比數(shù)列的定義證明是常數(shù)．（Ⅱ）利用條件，由（ I）可得an+2﹣an=2，即數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為2的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，分類求出即可．
【考點精析】通過靈活運用等差關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項和，掌握如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列；數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系即可以解答此題．