Question

（本小題滿分14分）
如圖，在三棱錐P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上的一點(diǎn)，且PF:FC=3:1．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）試在PC上確定一點(diǎn)G，使平面ABG∥平面DEF；
（3）在滿足（2）的情況下，求二面角G-AB-C的平面
角的正切值．
 

Answer 1

(Ⅰ)略   (Ⅱ)略   （Ⅲ）

(1) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，
       ∴，∴；……1分
又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，
同理可得 …………………………2分
∵，∴……3分
∵平面ABC，∴PA⊥BC.  …………4分
(2) 如圖所示取PC的中點(diǎn)G，…………………5分
連結(jié)AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F為GC的中點(diǎn)
又D、E分別為BC、AC的中點(diǎn)，
∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F，……………7分 
∴面ABG∥面DEF．           
即PC上的中點(diǎn)G為所求的點(diǎn)．                  …………… 9分
(3)由(2)知G這PC的中點(diǎn)，連結(jié)GE，∴GE⊥平面ABC，過E作EH⊥AB于H，連結(jié)GH，則GH⊥AB，∴∠EHG為二面角G-AB-C的平面角．         …………… 11分
∵       又  
∴    又      …………… 13分
∴                         
∴二面角G-AB-C的平面角的正切值為．         …………… 14分