(08年湖北卷文)(本小題滿分13分)

   已知雙同線的兩個焦點(diǎn)為

   的曲線C上.

  (Ⅰ)求雙曲線C的方程;

  (Ⅱ)記O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,若△OEF的面積為求直線l的方程

(Ⅰ)解法1:依題意,由a2+b2=4,得雙曲線方程為(0<a2<4=,

將點(diǎn)(3,)代入上式,得.解得a2=18(舍去)或a2=2,

故所求雙曲線方程為

解法2:依題意得,雙曲線的半焦距c=2.

2a=|PF1|-|PF2|=

a2=2,b2=c2a2=2.

∴雙曲線C的方程為

(Ⅱ)解法1:依題意,可設(shè)直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理,

得(1-k2)x2-4kx-6=0.

∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,

k∈(-)∪(1,).

設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),則由①式得x1+x2=于是

|EF|=

=

而原點(diǎn)O到直線l的距離d,

SΔOEF=

SΔOEF,即解得k,

滿足②.故滿足條件的直線l有兩條,其方程分別為y=

解法2:依題意,可設(shè)直線l的方程為y=kx+2,代入雙曲線C的方程并整理,

 

得(1-k2)x2-4kx-6=0.                                    ①

∵直線l與比曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,

k∈(-)∪(1,).                            ②

設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),則由①式得

|x1x2|=.  ③

當(dāng)EF在同一支上時(如圖1所示),

SΔOEF=|SΔOQFSΔOQE|=

當(dāng)E、F在不同支上時(如圖2所示),

SΔOEFSΔOQFSΔOQE

綜上得SΔOEF,于是

由|OQ|=2及③式,得SΔOEF.

SΔOEF=2,即,解得k,滿足②.

故滿足條件的直線l有兩條,基方程分別為y=y=

【試題解析】第(1)問只要求求了出雙曲線方程中的。第(2)涉及到直線與圓錐曲線相交的問題,一般是要設(shè)出直線聯(lián)立曲線,再用韋達(dá)定理,本問要解法的是求范圍的問題,其不等式在第(2)問中已給出,所以只需寫出三角形面積的表達(dá)式。

【高考考點(diǎn)】本題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、直線和雙曲線位置關(guān)系等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識,考查待寫系數(shù)法、不等式的解法以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力.

【易錯提醒】直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)時,在聯(lián)立后的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零。

【備考提示】要牢記圓錐曲線的定義,并會靈活運(yùn)用。

練習(xí)冊系列答案
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   如圖,在直三棱柱中,平面側(cè)面

  (Ⅰ)求證:

  (Ⅱ)若,直線AC與平面所成的角為,二面角

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f

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