Question

5．已知x³+sinx=m，y³+$\frac{1}{8}$sin2y=-$\frac{1}{8}$m，且x，y∈（-$\frac{π}{4}，\frac{π}{4}$），m∈R，則tan（x+2y+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³+sinx，則f（x）+f（2y）=0，根據(jù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性可得x+2y=0，于是tan（x+2y+$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．

解答 解：令f（x）=x³+sinx，
則f（x）在（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上為增函數(shù)，且f（x）為奇函數(shù)．
∵y³+$\frac{1}{8}$sin2y=-$\frac{1}{8}$m，∴8y³+sin2y=-m，
即f（2y）=-m，
∴f（x）+f（2y）=0，
∴x+2y=0，
∴tan（x+2y+$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性，奇偶性的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．