Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC⊥BC，E、F分別在線段B₁C₁和AC上，B₁E=3EC₁，AC=BC=CC₁=4．
（Ⅰ）求證：BC⊥AC₁；
（Ⅱ）若F為線段AC的中點(diǎn)，求三棱錐A-C₁EF的體積；
（Ⅲ）試探究滿足EF∥平面A₁ABB₁的點(diǎn)F的位置，并給出證明．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵AA₁⊥面ABC，BC?面ABC，∴BC⊥AA₁．…（1分）
又∵BC⊥AC，AA₁，AC?面AA₁C₁C，AA₁∩AC=A，∴BC⊥面AA₁C₁C，…（3分）
又AC₁?面AA₁C₁C，∴BC⊥AC₁．…（4分）
（Ⅱ）解：∵B₁C₁∥BC，由（Ⅰ）知BC⊥面AA₁C₁C，
∴C₁E⊥面AC₁F，…（6分）∴．…（8分）
（Ⅲ）解法一：當(dāng)AF=3FC時(shí)，F(xiàn)E∥平面A₁ABB₁．…（9分）
理由如下：在平面A₁B₁C₁內(nèi)過(guò)E作EG∥A₁C₁交A₁B₁于G，連接AG．∵B₁E=3EC₁，∴，
又AF∥A₁C₁且，
∴AF∥EG且AF=EG，
∴四邊形AFEG為平行四邊形，∴EF∥AG，…（11分）
又EF?面A₁ABB₁，AG?面A₁ABB₁，
∴EF∥平面A₁ABB₁．…（12分）
解法二：當(dāng)AF=3FC時(shí)，F(xiàn)E∥平面A₁ABB₁．…（9分）
理由如下：在平面ABC內(nèi)過(guò)E作EG∥BB₁交BC于G，連接FG．
∵EG∥BB₁，EG?面A₁ABB₁，BB₁?面A₁ABB₁，
∴EG∥平面A₁ABB₁．
∵B₁E=3EC₁，∴BG=3GC，
∴FG∥AB，又AB?面A₁ABB₁，F(xiàn)G?面A₁ABB₁，∴FG∥平面A₁ABB₁．
又EG?面EFG，F(xiàn)G?面EFG，EG∩FG=G，
∴平面EFG∥平面A₁ABB₁．…（11分）
∵EF?面EFG，∴EF∥平面A₁ABB₁．…（12分）．
分析：（Ⅰ）由AA₁⊥面ABC，利用線面垂直的性質(zhì)定理得到BC⊥AA₁，又BC⊥AC，AA₁，再根據(jù)線面垂直的判定定理得到BC⊥面AA₁C₁C，最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知可得C₁E⊥面AC₁F，將三棱錐A-C₁EF的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐E-C₁AF的體積進(jìn)行求解即得；
（Ⅲ）解法一：當(dāng)AF=3FC時(shí)，F(xiàn)E∥平面A₁ABB₁．理由如下：在平面A₁B₁C₁內(nèi)過(guò)E作EG∥A₁C₁交A₁B₁于G，連接AG，先證出EF∥AG，再利用線面平行的判定定理證得EF∥平面A₁ABB₁即可；
解法二：當(dāng)AF=3FC時(shí)，F(xiàn)E∥平面A₁ABB₁，理由如下：在平面ABC內(nèi)過(guò)E作EG∥BB₁交BC于G，連接FG．利用面面平行的判定定理得到平面EFG∥平面A₁ABB₁，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得到EF∥平面A₁ABB₁．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、棱錐的體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想．