Question

(本小題滿分12分)
某地區(qū)對12歲兒童瞬時記憶能力進行調(diào)查．瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力.某班學(xué)生共有40人，下表為該班學(xué)生瞬時記憶能力的調(diào)查結(jié)果．例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學(xué)生為3人．

視覺		視覺記憶能力
		偏低	中等	偏高	超常
聽覺 記憶 能力	偏低	0	7	5	1
	中等	1	8	3
	偏高	2		0	1
	超常	0	2	1	1

由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這40位學(xué)生中隨機抽取一個，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為．
（I）試確定、的值；
（II）從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率；
（III）從40人中任意抽取3人，設(shè)具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生人數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（1）的值為6，的值為2． （2）．
（3）的分布列為

	0	1	2	3

 
隨機變量的數(shù)學(xué)期望為．

本試題主要是考查了分布列和數(shù)學(xué)期望的運算，以及古典概型概率的運算，對立事件的概率等綜合運用。
（1）由表格數(shù)據(jù)可知，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有人．記“視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件，
利用古典概型概率公式，則，解得，．
（2）由表格數(shù)據(jù)可知，具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生共有8人．
記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件，
則“沒有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件，運用對立事件的概率公式可知．
（3）由于從40位學(xué)生中任意抽取3位的結(jié)果數(shù)為，其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生共24人，從40位學(xué)生中任意抽取3位，其中恰有位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為，所以從40位學(xué)生中任意抽取3位，其中恰有位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率為， ，然后列出分布列。
解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有人．記“視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件，
則，解得．………………………………………………2分
所以．
答：的值為6，的值為2．………………………………………………………3分
（2）由表格數(shù)據(jù)可知，具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生共有8人．
方法1：記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件，
則“沒有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件，
所以．
答：從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率為．……………………………………………………………6分
方法2：記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件，
所以．
答：從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率為．……………………………………………………6分
（3）由于從40位學(xué)生中任意抽取3位的結(jié)果數(shù)為，其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生共24人，從40位學(xué)生中任意抽取3位，其中恰有位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為，………………………7分
所以從40位學(xué)生中任意抽取3位，其中恰有位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率為，…………………………8分
的可能取值為0，1，2，3，………………………………………………9分
因為， ，
，，
所以的分布列為

	0	1	2	3

 
……10分
所以．
答：隨機變量的數(shù)學(xué)期望為．…………………………………………12分