【題目】已知拋物線C: ,點(diǎn) 在x軸的正半軸上,過(guò)點(diǎn)M的直線 與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若 ,且直線 的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程;
(2)是否存在定點(diǎn)M,使得不論直線 繞點(diǎn)M如何轉(zhuǎn)動(dòng), 恒為定值?

【答案】
(1)解:當(dāng) 時(shí), ,此時(shí),點(diǎn)M為拋物線C的焦點(diǎn),
直線 的方程為 ,設(shè) ,聯(lián)立
消去y得, ,∴ , ,∴圓心坐標(biāo)為
,∴圓的半徑為4,∴圓的方程為
(2)解:由題意可設(shè)直線 的方程為 ,則直線 的方程與拋物線C: 聯(lián)立,
消去x得: ,則 ,

對(duì)任意 恒為定值,
于是 ,此時(shí)
∴存在定點(diǎn) ,滿足題意
【解析】(1)根據(jù)條件可求出直線l的方程,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后,利用韋達(dá)定理可得出以A、B為直徑的圓的半徑、圓心坐標(biāo),寫(xiě)出圓的方程即可。
(2)根據(jù)條件設(shè)出直線l的方程,與拋物線方程聯(lián)立后表示出A、B坐標(biāo),代入給出的式子、化簡(jiǎn)后得到=,則即k=2試該式恒為定值。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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