Question

已知函數(shù)，。
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若對于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，，且，求證：。

Answer 1

（1），（2），（3）詳見解析

試題分析：（1）本題中的參數(shù)為，利用導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造關(guān)于的方程. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041458442772.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，故，（2）不等式恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為最值問題，即，本題實(shí)質(zhì)求函數(shù)在上最大值. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041458598793.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，因此當(dāng)時(shí)單調(diào)增，當(dāng)時(shí)單調(diào)減，所以當(dāng)時(shí)，，從而.（3）證明不等式先要觀察其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，原不等式結(jié)構(gòu)雖對稱，但不可分離，需要適當(dāng)變形.利用，將原不等式等價(jià)變形為，即
利用（II）結(jié)論，
=0
試題解析：（1）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041458146981.png" style="vertical-align:middle;" />，所以。
令，得，所以。              3分
（2）解：設(shè)，
則，令，解得。
當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：

	（0，1）	1
	＋	0	－
		極大值

所以當(dāng)時(shí)，。
因?yàn)閷τ谌我?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041458208672.png" style="vertical-align:middle;" />，都有成立，
所以。                                          7分
（3）證明：由（II），得，即，
令，得，
令，得，
所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041458302467.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，
即，
所以，
即，
所以。                  12分