Question

(滿分12分)設(shè)函數(shù)。

（Ⅰ）若在定義域內(nèi)存在，而使得不等式能成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)實(shí)數(shù)的最小值為。(Ⅱ)。

【解析】

試題分析：(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。  

求導(dǎo)得：，        ………3分

∵函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050119073591209204/SYS201305011908070526782617_DA.files/image008.png">，

當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)上是增函數(shù)。

∴，    ∴。故實(shí)數(shù)的最小值為。     ………6分

(Ⅱ)由得：

由題設(shè)可得：方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)相異實(shí)根………8分

設(shè)�！�，列表如下：

		－	0	＋
		減函數(shù)		增函數(shù)

 

∵，

∴。

從而有，                 ………10分

畫出函數(shù)在區(qū)間上的草圖

易知要使方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，

只需：，即：。      ………12分

考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，研究函數(shù)單調(diào)性、確定函數(shù)最值、研究函數(shù)圖象。

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、確定函數(shù)最值、研究函數(shù)圖象，是導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用。本題將“恒成立”問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問(wèn)題，將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)單調(diào)性、求最值問(wèn)題，凸顯轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)的重要性。