已知下列命題:
①若
AB
=(3,4)
,則
AB
a
=(-2,1)
平移后的坐標(biāo)為(-5,5);
②已知M是△ABC的重心,則
MA
 +
MB
 +
MC
 =
0
;
③周長(zhǎng)為
2
+1
的直角三角形面積的最大值為
1
4

④在△ABC中,若
a
cos
A
2
=
b
cos
B
2
=
c
cos
C
2
,則△ABC是等邊三角形.
其中正確的序號(hào)是(將所有正確的序號(hào)全填在橫線上)
②③④
②③④
分析:①據(jù)向量的可平移性得到平移后的向量的坐標(biāo),
②連接AM并延長(zhǎng)交BC與點(diǎn)D,則D為BC的中點(diǎn),且AM=
2
3
BC,利用三角形法則用向量
AB
AC
表示即可.
③因?yàn)長(zhǎng)=a+b+c,c=
a2+b2
,兩次運(yùn)用均值不等式即可求解;或者利用三角代換,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問(wèn)題.
④利用正弦定理,求出sin
1
2
A=sin
1
2
B=sin
1
2
C,推出△ABC是等邊三角形.
解答:解:①∵
AB
=(3,4)

∵向量是可平移的,平移后只改變起點(diǎn)、中的位置,不改變向量的坐標(biāo)
∴平移后的坐標(biāo)為(3,4),故錯(cuò);
②連接AM并延長(zhǎng)交BC與點(diǎn)D,則D為BC的中點(diǎn),且AM=
2
3
BC,
由三角形法則
AM
+
BM
+
CM
=
AM
+
AM
-
AB
+
AM
-
AC
=3
AM
-
AB
-
AC
=
2
3
AD
-
AB
-
AC

=(
AC
+
AB
)-
AB
-
AC
=
0

MA
+
MB
+
MC
=
0
正確;
③直角三角形的兩直角邊為a、b,斜邊為c,周長(zhǎng)L為
2
+1
,面積為s,
a+b+
a2+b2
=L≥2
ab
+
2ab

ab
L
2+
2

∴S=
1
2
ab≤
1
2
L
2+
2
2
=
1
2
•[
(2-
2
)L
2
]2=
3-2
2
4
L2=
1
4
.故正確;
④∵
a
cos
A
2
=
b
cos
B
2
=
c
cos
C
2
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
,得sin
1
2
A=sin
1
2
B=sin
1
2
C,
∴A=B=C⇒a=b=c,則△ABC是等邊三角形,正確.
故答案為:②③④.
點(diǎn)評(píng):本題考查向量的性質(zhì):向量是可以平移的,平移后與原向量相等;考查向量的三角形法則、平面向量基本定理和向量的表示;考查利用均值不等式解決實(shí)際;考查三角函數(shù)與正弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力邏輯推理能力,常考題型.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知下列命題中:
(1)若k∈R,且k
b
=
0
,則k=0或
b
=
0

(2)若
a
-
b
=0,則
.
a
=
0
b
=
0

(3)若不平行的兩個(gè)非零向量
a
,
b
,滿(mǎn)足|
a
|=|
b
|,則(
a
+
b
)•(
a
-
b
)=0
(4)若
.
a
.
b
平行,則
a
b
=|
.
a
|•|
.
b
|其中真命題的個(gè)數(shù)是( 。
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列命題中:
①若a,b,m都是正數(shù),且
a+m
b+m
a
b
,則b>a;      
②已知a,b都為實(shí)數(shù),若|a+b|<|a|+|b|,則ab<0;       
 ③若a,b,c為△ABC的三條邊,則a2+b2+c2>2(ab+bc+ca);
④若a>b>c,則
1
a-b
+
1
b-c
+
1
c-a
>0.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( 。
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知下列命題:
①在∠ABC和∠DEF中,若AB∥DE,BC∥EF,則∠ABC=∠DEF;
②已知三條直線a,b,c,且a⊥b,c⊥b,則a∥c;
③已知直線a,b,m,n,且a∥m,b∥n,則a交b所成的角與m交n所成的角相等;
④如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直,那么這兩個(gè)角互補(bǔ).
其中真命題的有
(漏選得一半的分,錯(cuò)選不得分)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知下列命題:
①命題p:“?x0∈R,x02-x0-1>0”的否定¬p為:“?x∈R,x2-x-1≤0”;
②回歸直線一定過(guò)樣本中心(
.
x
,
.
y
);
③若a=0.32,b=20.3,c=log0.32,則c<a<b.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:單選題

已知下列命題:

(1)若直線平面α,直線∩α=A,則,為異面直線.  (2)直線∥平面α,直線∥直線,則∥α.

(3)若直線l∥平面α,直線l∥平面β,則α∥β.  (4)若平面α⊥平面β,直線lα,則l⊥β.

其中真命題的個(gè)數(shù)是


  1. A.
    0個(gè)
  2. B.
    1個(gè)
  3. C.
    2個(gè)
  4. D.
    3個(gè)

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同步練習(xí)冊(cè)答案