如圖，

已知橢圓E:的離心率為，過左焦點(diǎn)且斜率為的直線交
橢圓E于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,直線：交橢圓E于C,D兩點(diǎn).
（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點(diǎn)M在直線上；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得四邊形AOBC為平行四邊形?若存在求出的值，若不存在說明理
由.

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）存在.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的相交問題、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，利用已知的離心率和左焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到基本量a,b,c的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，設(shè)出點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)和直線的方程，令直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用所得方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，從而得到的坐標(biāo)，由直線方程獲得，驗(yàn)證是否在上即可；第三問，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)已知條件將題目轉(zhuǎn)化為C點(diǎn)坐標(biāo)與M點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，通過直線與橢圓聯(lián)立消參，得到的坐標(biāo)，令，解出k的值，k有解，即存在.
試題解析：（1）由題意可知，，于是.
所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.                -3分
（2）設(shè)，，，
即.
所以，，，，
于是.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/15/7/nir02.png" style="vertical-align:middle;" />，所以在直線上.             8分
（3）由（2）知點(diǎn)A到直線CD的距離與點(diǎn)B到直線CD的距離相等，
若∆BDM的面積是∆ACM面積的3倍，
則|DM|=3|CM|，因?yàn)閨OD|=|OC|，于是M為OC中點(diǎn)，；
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a3/d/pvrvh1.png" style="vertical-align:middle;" />，解得.
于是，解得，所以.        14分
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的相交問題、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的中心和拋物線的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，、的焦點(diǎn)均在軸上，過的焦點(diǎn)F作直線，與交于A、B兩點(diǎn)，在、上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：


（1）求，的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若與交于C、D兩點(diǎn)，為的左焦點(diǎn)，求的最小值；
（3）點(diǎn)是上的兩點(diǎn)，且，求證：為定值；反之，當(dāng)為此定值時(shí)，是否成立？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓c：（a>b>0）的離心率為，過其右焦點(diǎn)F與長軸垂直的弦長為1，
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是直線x=1上的動(dòng)點(diǎn)，直線PA與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M，直線PB與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為拋物線上的一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為，.
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)為拋物線上不同于的兩點(diǎn)，且，過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，記兩切線的交點(diǎn)為，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，長軸的左右端點(diǎn)分別為，.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn).
求證：以為直徑的圓過定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓的方程為，離心率為，且短軸一端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為1，拋物線的方程為，拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)重合.
（1）求橢圓和拋物線的方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交拋物線于不同兩點(diǎn)A,B，交y軸于點(diǎn)N，已知的值.
（3）直線交橢圓于不同兩點(diǎn)P,Q，P,Q在x軸上的射影分別為P′,Q′，滿足(O為原點(diǎn))，若點(diǎn)S滿足，判定點(diǎn)S是否在橢圓上，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，圓與直線相切于點(diǎn)，與正半軸交于點(diǎn)，與直線在第一象限的交點(diǎn)為.點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，且滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線．

（1）求圓的方程及曲線的方程；
（2）若兩條直線和分別交曲線于點(diǎn)、和、，求四邊形面積的最大值，并求此時(shí)的的值．
（3）證明：曲線為橢圓，并求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

的內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)分別為,已知，內(nèi)切圓圓心,設(shè)點(diǎn)A的軌跡為R.

（1）求R的方程；
（2）過點(diǎn)C的動(dòng)直線m交曲線R于不同的兩點(diǎn)M,N，問在x軸上是否存在一定點(diǎn)Q（Q不與C重合），使恒成立，若求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＝1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T(t，m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.

(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2－PB2＝4，求點(diǎn)P的軌跡；
(2)設(shè)x1＝2，x2＝，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
(3)設(shè)t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))．

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